LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA
- I Ed.2014 17×24 in brossura Pag.404
- ISBN: 9788874887934
- DOI: 10.15651/978-88-748-8793-4
- INDICE GENERALE
Queste sono le lezioni che ho preparato per il corso di Analisi Matematica, laurea triennale in Scienze Statistiche Università di Bologna. Mi sono ispirato a diversi manuali [6, 3, 16, 2, 4, 33, 37, 11, 1, 35, 13, 29, 24, 20, 14, 21, 12, 26] oltre che alle mie precedenti esperienze didattiche più che ventennali nella (allora) Facoltà di Economia, [32]. Fra gli studenti, a seconda del tipo di formazione, c’è certamente chi ha incontrato alcuni temi che saranno al centro di questo corso: il calcolo di limiti, la derivazione delle funzioni, il calcolo di integrali. Qualche studente potrebbe domandarsi perchè ripetere queste cose in un corso di Analisi Matematica? La risposta è duplice: anche se qualche risultato, nel corso degli studi secondari, dovesse essere stato dimostrato è probabile che le dimostrazioni che necessitano gli aspetti più sottili, come, ad esempio la proprietà di completezza dei numeri reali, Assioma 2.10 pagina 17, che come vedremo pervade la quasi totalità delle dimostrazioni che saranno presentate nel corso, oppure la nozione di uniforme continuità, definizione 6.66 pagina 163, siano state trascurate. Nella sostanza le abilità che vengono conseguite nelle scuole superiori sono, nella maggioranza dei casi, di tipo puramente computazionale.
In questo corso, invece, si cerca, di introdurre all’Analisi Matematica anche nei suoi aspetti teorici. Solo nel momento in cui lo studente avrà raggiunto una piena consapevolezza dell’apparato teorico sottostante, i problemi computazionali, comunque importantissimi, potranno essere compresi in tutte le loro dimensioni. La mia ambizione didattica è quella di introdurre ai metodi rigorosi dell’Analisi Matematica, senza perdere di vista gli aspetti del calcolo che interessano le applicazioni, anzi cercando di fortificare le competenze in questo senso, ma proprio per questo dando il rilievo agli aspetti teorici, che non possono essere trascurati anche se si hanno ambizioni applicative. La quantità di materiale presentata nel testo probabilmente non può essere svolta in un corso di 60 ore, tuttavia ho preferito, in un certo senso, eccedere per consentire, da un lato agli istruttori di scegliere quali aspetti approfondire e quali trascurare, dall’altro lato per permettere allo studente interessato di cominciare i suoi approfondimenti usando ancora il testo su cui ha iniziato a formarsi. Ogni teoria matematica rigorosa parte da alcune nozioni non definite su cui si basa la teoria e alcune proprietà postulate, che sono chiamate assiomi, che sono assunte per vere senza darne la dimostrazione. Il nostro studio è basato sulle nozioni primitive di insieme e di numeri reali e su alcuni postulati che introdurremo nei primi due capitoli. Nel seguito viene, come d’uso, presentato il calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile reale, preceduto dalla esposizione della teoria delle successioni e delle serie, in cui viene introdotta la fondamentale nozione di limite. Nei capitoli finali ho presentato le successioni di funzioni e le equazioni differenziali, per non limitare le conoscenze acquisite dagli studenti ad argomenti comunque già visti nel corso degli studi secondari. Il capitolo conclusivo presenta le prove d’esame, commentate e risolte, assegnate nel corso di Analisi Matematica nel Corso di Laurea in Scienze Statistiche nell’anno accademico 2013-2014. Al termine di ciascun capitolo sono proposti e risolti molti esercizi. Molti altri esercizi sono semplicemente proposti: è importante che lo studente si metta alla prova e tenti di svolgere esercizi per conto proprio. Per rendere il senso di questa scelta rinvio ad una famosa monografia, Mathematics is not a spectator sport, [28], naturalmente quando i tentativi di soluzione dovessero essere infruttuosi è fondamentale poter contare sulla collaborazione degli istruttori: spesso la scoperta della giusta strategia, dopo aver incontrato difficoltà porta grande giovamento. Ho ritenuto opportuno presentare applicazioni, molto importanti e, a mio avviso, interessanti per la Statistica, quali, ad esempio, il calcolo dell’integrale di probabilità: formula (8.62) pagina 288, la formula di Stirling (8.63) e il famoso problema di Basilea, teorema 9.71, pagina 335. Non desidero spendere molto tempo in esortazioni agli studenti sulla necessità di avere una solida preparazione in Analisi Matematica per potersi dedicare ai loro futuri studi nel campo delle Scienze Statistiche, preferisco invitare a consultare per esempio [19] dove ci si potrà rendere conto della necessità di una solida padronanza dell’Analisi Matematica per potersi dedicare allo studio della Statistica.
Concludo con alcuni sentiti ringraziamenti, in particolare a Giovanni Mingari Scarpello, che è il mio coautore principale, per la mia attività di ricerca, che ha letto il manoscritto durante la sua stesura, così come Calogero Salvatore Siracusa, Aldo Scimone ed il giovane Alessio Bocci, che sono entrati in contatto con il manoscritto in preparazione. Naturalmente la responsabilità degli errori che certamente sono rimasti è esclusivamente mia. A questo proposito spero di poter contare sulla comprensione e sul supporto degli studenti, che invito a segnalare errori e refusi al mio indirizzo di e-mail daniele.ritelli@unibo.it, invitando a considerare che, se si ricercasse la perfezione i tempi di gestazione di un manuale di questa consistenza si misurerebbero in lustri.
DANIELE RITELLI - è professore associato in Metodi matematici dell’economia e delle scienze attuariali e finanziarie, presso la scuola di Economia Management e Statistica dell’Università di Bologna. La sua attività di ricerca riguarda l’Analisi Matematica e le Funzioni Speciali, con pubblicazioni apparse su diverse riviste internazionali, con contributi relativi al calcolo di integrali definiti, serie numeriche, costanti fondamentali per la Teoria Analitica dei Numeri e alla integrazione di equazioni differenziali ordinarie non lineari.
RITELLI - Lezioni di Analisi Matematica
